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Tuesday, February 16, 2016

什么是线性代数? (What is linear algebra?)

"80% of mathematics is linear algebra." --- Raoul Bott (当代数学家, 1923-2005)

「线性」的概念在现代数学中非常重要。

向量 (vector),是一支由原点指出的箭头。

在 2D 空间中,它可以用两个数(座标)表示:


在 3D 中,用三个座标表示:


一般来说,在 n 度空间中的 vector 可以用 n 个数表示:
$$ \vec{x} = ( x_1, x_2, ... , x_n) $$

线性和非线性的函数的图像:



注意: 在现代数学上,「线性」用抽象的向量定义比较好,抽象的向量并不需要座标描述。

「向量」的抽象定义 (基本意思是说,向量是一些可以「相加」和「拉长拉短」的东西) :



「线性变换」(linear transformation)是一个 map,叫它做 $T()$,它将空间中的任意 vector 转移到另一位置,

$$ \vec{v} \mapsto \vec{v}' $$
$$ \vec{v} \mapsto T(\vec(v)) $$

线性变换的例子:

A stretching and flipping two-dimensional linear transformation


非线性变换的一个例子:





什麼是對偶空間 (dual space)?



協變與逆變 (co-variant and contra-variant)




微分形式 (differential forms)





同調與上同調 (homology and co-homology)



李代數 (Lie algebra)